Algèbre linéaire Exemples

$z^{4} - 21 z^{2} - 100 = 0$

Étape 1

Remplacez $u = z^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - 21 u - 100 = 0$

$u = z^{2}$

Étape 2

Factorisez $u^{2} - 21 u - 100$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 100$ et dont la somme est $- 21$ .

$- 25, 4$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 25) (u + 4) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 25 = 0$

$u + 4 = 0$

Étape 4

Définissez $u - 25$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Définissez $u - 25$ égal à $0$ .

$u - 25 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 25$

Étape 5

Définissez $u + 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Définissez $u + 4$ égal à $0$ .

$u + 4 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 4$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 25) (u + 4) = 0$ vraie.

$u = 25, - 4$

Étape 7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = z^{2}$ dans l’équation résolue.

$z^{2} = 25$

${(z^{2})}^{1} = - 4$

Étape 8

Résolvez la première équation pour $z$ .

$z^{2} = 25$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $z$ .

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Étape 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{25}$

Étape 9.2

Simplifiez $\pm \sqrt{25}$ .

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Étape 9.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{5^{2}}$

Étape 9.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$z = \pm 5$

Étape 9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$z = 5$

Étape 9.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$z = - 5$

Étape 9.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$z = 5, - 5$

Étape 10

Résolvez la deuxième équation pour $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 4$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $z$ .

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$z^{2} = - 4$

Étape 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 11.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Étape 11.3.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$z = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 11.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$z = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 11.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$z = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 11.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$z = \pm i \cdot 2$

Étape 11.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$z = \pm 2 i$

Étape 11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$z = 2 i$

Étape 11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$z = - 2 i$

Étape 11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$z = 2 i, - 2 i$

Étape 12

La solution à $z^{4} - 21 z^{2} - 100 = 0$ est $z = 5, - 5, 2 i, - 2 i$ .

$z = 5, - 5, 2 i, - 2 i$

Étape 13

Le domaine est l’ensemble de toutes les valeurs $z$ valides.

${z | z = 5, - 5, 2 i, - 2 i}$

Étape 14